①设A=（α1，α2，α3）是5×3实矩阵，r（A）=3．又设实向量μ1，μ2构成ATX=0的基础解系，证明（α1，α2，α3，μ1，μ2）是可逆矩阵．②A=102−1−412−2−10−11111

问题描述：

①设A=（α₁，α₂，α₃）是5×3实矩阵，r（A）=3．又设实向量μ₁，μ₂构成A^TX=0的基础解系，证明（α₁，α₂，α₃，μ₁，μ₂）是可逆矩阵．
②A=

1  0    2   −1   −4 1  2  −2   −1     0 −1  1     1     1     1

，求AX=0的单位正交基础解系．

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最佳答案：

①设：k1α1+k2α2+k3α3+k4μ1+k5μ2=0，（1）
在（1）式两端左乘AT，可得：
AT（k1α1+k2α2+k3α3+k4μ1+k5μ2）=0，
即：
k1ATα1+k2ATα2+k3ATα3+k4ATμ1+k5ATμ2=0．（2）
由于μ1，μ2构成ATX=0的基础解系，
因此：ATμ1=ATμ2=0，代入（2）可得：
k1ATα1+k2ATα2+k3ATα3=0，
因为：r（A）=3，
所以：k1=k2=k3=0，
代入（1）可得：k4μ1+k5μ2=0，
再次由于μ1，μ2构成ATX=0的基础解系，
所以：k4 =k5=0，
综上，k1=k2=k3=k4 =k5=0．
所以，向量组α1，α2，α3，μ1，μ2是线性无关的，
从而，（α1，α2，α3，μ1，μ2）是可逆矩阵．
②因为
A=

1 0 2 −1 −4 1 2 −2 −1 0 −1 1 1 1 1

→

1 0 2 −1 −4 0 2 −4 0 4 0 1 3 0 −3

→

1 0 2 −1 −4 0 2 −4 0 4 0 0 5 0 −5

作业帮用户 2017-10-29 扫描下载二维码