设函数f（x）在区间[a，b]上Riemann可积，且∫baf（x）dx<0．试证明：存在闭区间[α，β]⊂[a，b]，使得当x∈[α，β]时，f（x）<0．

问题描述：

设函数f（x）在区间[a，b]上Riemann可积，且

∫

ba

f（x）dx<0．试证明：存在闭区间[α，β]⊂[a，b]，使得当x∈[α，β]时，f（x）<0．

---

最佳答案：

证明：
利用反证法，
原命题：假设对任意区间[α，β]⊂[a，b]，都存ξ∈[α，β]，使f（ξ）<0，
否命题；假设对任意区间[α，β]⊂[a，b]，都存ξ∈[α，β]，使f（ξ）≥0，
任意分割△：a=x0<x1<…<xn=b，都存在ξi∈[xi-1，xi]，使得f（ξi）≥0，
于是

∫

ba

f(x)dx=

lim

λ(△)→0

n

k=1

f(ξi)△xk≥0，
与题设条件

∫

ba

f(x)dx<0，矛盾．
故原命题成立，假设不成立．